Bonjour,

Serait il possible de disposer de la formule littérale de l'équation de la déformée d'une poutre continue à deux travées de longueur L égale avec un chargement uniformément répartie p sur chacune des 2 travées.

On trouve facilement les formules suivantes :  RA=3pL/8 = RC  et RB (appui central) = 10pL/8   on a MB (appui central) = -pL²/8

Je dispose de la formule suivante pour une abscisse x de la travée 1 :  flèche  = p x  ( 3x²L - 2x^3 - L^3)  / (48EI)

f max = - 0,0054161 p L^4 / (EI) pour la position x = 0,421535 L

simplement quand je fais un calcul avec excel et un calcul avec le logiciel RDM de l'IUT le mans, la valeur de la flèche max n'est pas la même ! 

J'ai essayé de retrouver manuellement la formule par intégration à partir de l'équation du moment car M = - EI y" mais je dois me tromper sur les constantes d'intégration. ou tout simplement dans la formule du Moment Mx dans la travée 1

Mx = p x ( 3L -4x) / 8 ou x est l'abscisse pour le calcul de M

Calcul numérique de vérification :

Portée L : 2m50 par travée  - section lambourde rectangulaire hauteur x base : 150x100mm   E=11000 MPa (bois)

p ELU = -6,441 KN/m  => RA=6,0384KN = RC ; RB=20,1281KN ; Mt flexio travée max : M1=2,8305 KN.m ; Mt Appui central MB = -5.032 KN.m

Contrainte de flexion : 13,419 Mpa pour un module I/v = 0.000375 m3

Pour les valeurs ci-dessus, aucun souci entre excel et le programme RDM 6.17 IUT le mans.

Seules les déformées ne correspondent pas du tout !

RDM IUT Le mans me donne une valeur de -0.2307mm alors que la formule littérale me conduit à une valeur de -4,391591mm

AU-delà de la formule exacte, j'aimerai avoir si possible la méthode de résolution analytique pour ne pas rester idiot.

Merci d'avance pour votre aide

 

Bonjour,

Dans votre cas, la structure et le chargement sont parfaitement symétriques par rapport à l'appui central, vous avez une rotation nulle sur cet appui. Vous pouvez donc effectuer le calcul pour une travée simplement appuyée d'un côté et encastrée de l'autre.

Ce cas est traité dans le formulaire DUNOD et les formules que vous avez données sont correctes.

Voilà les formules appliquées à ton cas :

https://drive.google.com/file/d/0BzdAe1145o7-RWhKM01nZDhzbWs/view?usp=sharing

Pour calculer la valeur de la flèche pour chaque travée,on la divise à une flèche isostatique due à la charge répartie, et à une flèche due au moment sur l'appui central.

Modifié Octobre 21, 20179 a par ABDOH

Merci pour vos commentaires. La formule donnée doit être correcte car je retombe sur elle (sans me faire mal) quand je fais la démarche analytique.  Je ne comprends pas les erreurs dans mes calculs numériques. Pourtant j'ai bien vérifié les entrées et les formules avec excel!

Voici l'analyse que j'ai faite qui conduit à la formule donnée dans le formulaire  :

ordonnée y orientée vers le haut - sens positif des moments dans le sens des aiguilles d'une montre

Charge répartie p - travées de portée L - Appui G : Réaction RA - Appui central : Réaction RB - Appui Droite : Réaction RC

Le cas de chargement est symétrique => RA = RC

Principe fondamental de la Statique : Somme(Forces)=0 => RA + RB + RC - p . 2L = 0 => RB=2(L.p - RA)   [eq.1]

Equation du moment sur la travée de rive gauche pour 0 <= x  <= L

Mx = RA.X - (p.x).x/2     Equation différentielle de la déformée : Mx = E.Iz.d²y/dx²  avec d²y/dx²=y"

E.Iz.y" = - p.x²/2 + RA.x  on multiplie par dx chaque membre et on intègre pour avoir l'équation de la déviation angulaire

E.Iz.dy/dx = E.Iz.y' = - P.x^3 / 6 + RA. x² / 2 + A  avec A constante d'intégration  [Eq.2]

En position x=L sur appui central, avec une flèche nulle f=0, on a un symétrie de la déviation angulaire sur appui avec une rotation nulle au regard de la flèche nulle soit effectivement dy/dx(x=L) = 0 . Cette condition aux limites permet de calculer la constante A

Pour x=L On obtient à partir de Eq.2 :   P.L^3 / 6 + RA. L² / 2 + A = 0 => A = P.L^3 / 6 - RA. L² / 2   [Eq.3]

Continuons l'intégration pour obtenir l'équation de la déformée de la travée gauche en y portant la valeur de A dépendant de RA

E.Iz. y = - P.x^4 / 24 + RA. x^3 / 6 + ( P.L^3 / 6 - RA. L² / 2).x + B avec B constante d'intégration à déterminer également.  [Eq.4]

Pour x=0 en appui de rive gauche en A, on a une flèche y nulle donc à partir de l'équation 4, on obtient facilement B=0

Examinons à nouveau la condition de la flèche nulle sur l'appui central pour la détermination de la constante A

E.Iz. y = - P.x^4 / 24 + RA. x^3 / 6 + ( P.L^3 / 6 - RA. L² / 2).x  => E.Iz. L = - P.L^4 / 24 + RA. L^3 / 6 + ( P.L^3 / 6 - RA. L² / 2).L = E.Iz.0 = 0

- P.L^4 / 24 + RA. L^3 / 6 + ( P.L^3 / 6 - RA. L² / 2).L = 0  <=> L^3 . (-P.L + 4.RA + 4.P.L -12.RA) / 24 = 0  <=> 3.P.L - 8.RA = 0

On obtient ainsi  RA = 3/8 . P.L [Eq.5]    on trouve  RC= RA = 3.P.L/8

A partir de Eq.1 on obtient  RB =2(L.P-3P.L/8) = 2(8LP-3LP)/8 = 5LP/4

Reportons la valeur littérale de RA dans l'équation 3 pour déterminer la constante A

A = P.L^3 / 6 - RA. L² / 2  = P.L^3 / 6 - 3.P.L. L² / (2.8) = (8.P.L^3 - 3.3.P.L. L²) /(2.3.8) = (8PL^3-9PL^3)/48 = -P.L^3/48

On peut donc écrire l'équation de la déformée dans la travée 1 à partir de Eq.4

E.Iz. y = - P.x^4 / 24 + RA. x^3 / 6 + ( P.L^3 / 6 - RA. L² / 2).x = - P.x^4 / 24 + 3.P.L. x^3 / 48 - P.L^3.x/48

E.Iz. y =- 2.P.x^4 / 48 + 3.P.L. x^3 / 48 - P.L^3.x/48  => 48.E.Iz.y = - 2.P.x^4 + 3.P.L. x^3 - P.L^3.x = P.x. (- 2.x^3 + 3.L. x² - L^3)

déformée y =  P.x. (- 2.x^3 + 3.L. x² - L^3) / (48.E.Iz) qui correspond bien à la formule donnée.

Ensuite pour déterminer la flèche maximale, il s'agit d'étudier la fonction f(x)=- 2.x^4 + 3.L. x^3 - L^3.x

Il s'agit d'un polynome du 4e degré avec une dérivée de degré 3. f'(x)=-8.x^3+9.Lx²-L^3

quand f'(x)=0, on obtient la valeur de l'abscisse x pour la flèche maximum.

On recherche des solutions évidentes pour factoriser le polynome de la dérivée.

Une solution évidente est x=L . On peut écrire f'(x)=(x-L)(-8.X²+p.X+q). Recherchons p et q en développant

(x-L) (-8.X²+p.X+q) = -8x^3 + px² + qx + 8Lx² -pLx -qL = -8x^3 + (p+8L)x² + (q-pL)x -qL

on obtient : P+8L = 9L ==> P = L  et q-pL=0 ==> q=PL=L²  on écrit la dérivée f'(x)=(x-L).(-8.X² + L.X + L²)

Il suffit de résoudre l'équation du second degré - 8 X² + L.X + L² = 0 avec a=-8 ; b= L ; c= L²

Discriminant D=b²-4ac = L² - 4.(-8).L² = L².(1+32) = 33.L²  > 0 ==> 2 racines

Racine(D)=L.Racine(33)

x1 = (-b+Racine(D))/2a = (-L+L.racine(33))/(-16) = - L( racine(33)-1) / 16  ==> solution négative ne convient pas

x2 = (-b-racine(D))/2a = (-L-L.racine(33))/(-16) = -L.(1+racine(33))/(-16) = L.[1+racine(33)]/16 valeur positive

X2 = 0,42153516541.L correspond bien à la valeur fournie par le formulaire.

On reporte cette valeur analytique dans la formule de déformée pour la flèche maximale

déformée y =  P.x. (- 2.x^3 + 3.L. x² - L^3) / (48.E.Iz)   On pose K0=[1+Racine(33)]/16 = 0,42153517

48. E. Iz . y = P . L.K0 ( -2 L^3. K0^3 + 3.L.L².K0² - L^3) = P . L^4 . K0 . ( -2.K0^3 + 3.K0² -1 )

Posons K = K0 . ( -2.K0^3 + 3.K0² -1 ) / 48 = -0.005416122

La flèche maximale vaut ainsi y = K. P . L^4 / (E.Iz) =  -0.0054161216 . P . L^4 / ( E.Iz)

Je me suis répondu mais cela doit pouvoir aider les autres aussi.

Cela confirme le formulaire mais en le démontrant et en comprenant...

Merci pour ceux qui m'ont répondu au-dessus.

 

 

 

 

 

 

 

Modifié Octobre 22, 20179 a par philkakou